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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 7: Lebesgue 测度、Lebesgue-Stieltjes 测度 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}
{\color{red}\begin{rmk}
	本节中有许多定理和上节中相应的一般定理证明相同, 所以我们只对上节中没有的性质给出证明.
\end{rmk} }
\section{外测度 \( m^*(g^*) \)}

如前所说, \( \mathbf{R}_0 \) 是直线上有限的左开右闭区间所成的环. 在 Lecture 5 已经证明 \( m \) (或 \( g \)) 是 \( \mathbf{R}_0 \) 上的测度. 作

\[
\mathbf{H}(\mathbf{R}_0) = \left\{ E \middle| E \subseteq X, \text{存在 } E_i \in \mathbf{R}_0, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}
\]

\( \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \) 就是直线的一切子集全体所成的类. 对任何 \( E \in \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \), 规定

\[
m^*(E) = \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} m(E_i) \middle| E_i \in \mathbf{R}_0, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}
\]

显然, 有如下结果. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
	\( m^* \) 在 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \) 上具有如下性质: 
\begin{enumerate}
    \item\label{lem1.1} \( m^*(\varnothing) = 0 \);
    \item\label{lem1.2} (非负性) 对任何直线的子集 \( E, m^*(E) \geqslant 0 \);
    \item\label{lem1.3} (单调性) 对任何直线上的子集 \( E_1, E_2 \), 如果 \( E_1 \subseteq E_2 \), 那么 \( m^*(E_1) \leqslant m^*(E_2) \);
    \item\label{lem1.4} 当 \( E \in \mathbf{R}_0 \) 时, \( m^*(E) = m(E) \). 
\end{enumerate}
\end{lemma}


一般说来, \( m^* \) 在 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \) 上不具有可列可加性, 甚至有限可加性也不满足 (将在本节末给出例子来说明这一点) . \( m^* \) 只具有次可列可加性. 

\begin{theorem}\label{thm2.4.1}
	设 \(\{E_i\}\) 是直线上的任何一列子集, 
\[
m^* \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) \leqslant \sum\limits_{i=1}^{\infty} m^*(E_i).
\]
\end{theorem}

如果 \( E \in \mathbf{R}_0 \), 那么直线上的任何子集 \( F \) 被 \( E \) 所分割的两个部分 \( F \cap E, F - E, m^* \) 在这两个部分上是具有可加性的, 即成立着下面定理: 

\begin{theorem}\label{thm2.4.2}
	设 \( E \in \mathbf{R}_0, F \) 是直线上的任何一个子集. 下式成立: 
\[
m^*(F) = m^*(F \cap E) + m^*(F - E)
\]
\end{theorem}

\begin{rmk}
	 \( g(x) \) 是 \((-\infty, \infty)\) 上单调增加右连续函数, 由 \( g(x) \) 导出 \( \mathbf{R}_0 \) 上测度 \( g \), 同样在 \( \mathbf{H}(\mathbf{R}_0) \) (即直线上一切子集全体) 引入
\[
g^*(E) = \inf \left\{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(E_i) \middle| E_i \in \mathbf{R}_0, E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right\}.
\]
引理 \ref{lemma1}, 定理 \ref{thm2.4.1}, \ref{thm2.4.2} 对于 \( g^* \) 也成立 (只要将 \( m^* \) 换为 \( g^* \) 即可).
\end{rmk}
 

\section{Lebesgue和Lebesgue-Stieltjes测度}

现在引入 \( m^* \)-可测集和 \( g^* \)-可测集概念.

\begin{definition}
	设 \( E \) 是直线上的一个子集, 如果对任何直线上的子集 \( F \), 都有
\[
m^*(F) = m^*(F \cap E) + m^*(F - E)
\]
称 \( E \) 是 \textbf{\( m^* \)-可测集}或称为\textbf{Lebesgue可测集}, 简称为 \textbf{L-可测集}. L-可测集全体记为 \( \mathbf{L} \). 
\end{definition} 

\begin{theorem}\label{thm2.4.3}
	\begin{enumerate}
    \item\label{thm2.4.3.1} 如果 \( m^*(E) = 0 \), 那么 \( E \in \mathbf{L} \)；
    \item\label{thm2.4.3.2} \( \mathbf{L} \) 是 \(\sigma\)-环 (其实是 \(\sigma\)-代数), 并且 \( \mathbf{L} \supseteq \mathbf{R}_0 \)；
    \item\label{thm2.4.3.3} \( m^* \) 是 \( \mathbf{L} \) 上的完全测度. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

Lebesgue可测集类 \( \mathbf{L} \) 上的测度 \( m^* \) 称为\textbf{Lebesgue测度}. 今后在不发生混淆时, 总仍用 \( m \) 表示 \( m^* \). 

\begin{rmk}
	将本小节的定义中 \( m^* \) 换为 \( g^* \), 就可引入 \( g^* \)-可测集, 或称为 (关于 \( g \) 的) Lebesgue-Stieltjes可测集, 简称为 (关于 \( g \) 的)  L-S  可测集\footnote{在只有一个 \( g \) 出现的场合, ``关于 \( g \) 的''这个说明词常省掉.}. (关于 \( g \) 的)  L-S  可测集全体记为 \( \mathbf{L}^g \). 将定理 \ref{thm2.4.3} 中 \( m^* \)、\( \mathbf{L} \) 换为 \( g^* \)、\( \mathbf{L}^g \) 时仍成立. 通常称 \( \mathbf{L}^g \) 上的测度 \( g^* \) 为 (由 \( g \) 导出的) Lebesgue-Stieltjes测度. 今后在不发生混淆时, 总仍用 \( g \) 表示 \( g^* \). 
\end{rmk}

因为对 \((-\infty, \infty)\) 上无论什么单调增加右连续函数 \(g(x)\), 总有 \( \mathbf{L}^g \supseteq \mathbf{R}_0 \), {\color{red}(注意$\sigma$-环有包含性,)} 因而 \( \mathbf{L}^g \supseteq \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \), 而 \( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \) 是由 \( \mathbf{R}_0 \) 唯一确定的, 并不依赖于 \( g(x) \). 所以我们经常把Lebesgue-Stieltjes测度 (特例是Lebesgue测度) 限制在 \(\sigma\)-环 \( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \) 上. \( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \) 是直线上测度理论中特别重要的一个集类. 

\section{Borel 集与 Lebesgue 可测集}

\begin{definition}
	\( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \) 中的每个集称为直线上的 Borel 集. 常记 Borel 集全体 \( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \) 为 \( \mathbf{B} \). 
\end{definition}

下面将给出一些常见的 Borel 集, 并给出它们的Lebesgue测度. 

\begin{theorem}\label{thm2.4.4}
	\begin{enumerate}
    \item\label{thm2.4.4.1} Borel 集类 \( \mathbf{B} \) (即 \( \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \)) 是直线上 \(\sigma\)-代数；
    \item\label{thm2.4.4.2} 单点集、有限集、可列集都是 Borel 集, 并且它们的Lebesgue测度是零；
    \item\label{thm2.4.4.3} 区间 \(\langle a, b \rangle\) (\(a, b\) 可取 \(-\infty, \infty\)), 开集 \(G\) 是 Borel 集, 并且 \( m(\langle a, b \rangle) = b - a, m(G) = \sum\limits_{\nu} (b_\nu - a_\nu) \), 其中 \(\{(a_\nu, b_\nu)\}\) 是 \(G\) 的构成区间全体；
    \item\label{thm2.4.4.4} 闭集 \(F\) 是 Borel 集, 当 \(F \subseteq (a, b)\) (有限开区间) 时, \( m(F) = (b - a) - m((a, b) - F) \)；当 \(F\) 是无界闭集时, \( m(F) = \lim\limits_{n \to \infty} m(F \cap [-n, n]) \). 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
	\item[\ref{thm2.4.4.1}] 因为 \((-\infty, \infty) = \bigcup\limits_{n=-\infty}^{\infty} (n, n+1]\), 所以 \((-\infty, \infty) \in \mathbf{B}\), 因此 \( \mathbf{B} \) 是 \(\sigma\)-代数.
	
	\item[\ref{thm2.4.4.2}] 因为单点集 \[\{a\} = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( a - \frac{1}{n}, a + \frac{1}{n} \right),\] 所以 \(\{a\} \in \mathbf{B}\), 从而有限集、可列集均属于 \(\sigma\)-代数 \( \mathbf{B} \). 
	
	由单调性, \[ m(\{a\}) \leqslant m \left( \left( a - \frac{1}{n}, a + \frac{1}{n} \right) \right) = \frac{2}{n} .\] 
	再令 \( n \to \infty \), 立即得到 \( m(\{a\}) = 0 \). 再由测度的可列可加性, 易知有限集、可列集的Lebesgue测度是零. 
	
	\item[\ref{thm2.4.4.3}] 如果 \( a, b \) 都是有限数, 那么 \[[a, b] = (a, b] \cup \{a\},\quad (a, b) = (a, b] - \{b\},\quad [a, b) = [a, b] - \{b\}.\] 
	由 \( \mathbf{B} \) 是环的性质立即知道 \(\langle a, b \rangle\) 是 Borel 集. 再利用测度的可加性以及单点集的Lebesgue测度是零就得到 \( m(\langle a, b \rangle) = b - a \). 

    如果 \(\langle a, b \rangle\) 的 \( a, b \) 中至少有一个是无限, 例如 
    \[ a = -\infty,\quad \langle a, b \rangle = (-\infty, b] = \bigcup\limits_{n=0}^{\infty} (b - n - 1, b - n], \]
    所以 \((-\infty, b]\) 是 Borel 集. 再由测度的可列可加性得到 
    \[ m((-\infty, b]) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} m((b - n - 1, b - n]) = \infty = b - a .\]
    同样可证其它无限区间的情况. 

    如果 \( G \) 是开集, 因此 \( G \) 可以表示成它的构成区间之和: \[ G = \bigcup (a_\nu, b_\nu), \] 其中 \(\{(a_\nu, b_\nu)\}\) 是 \( G \) 的构成区间全体. 
    所以 \( G \) 是 Borel 集, 并且 \[ m(G) = \sum\limits_{\nu} m((a_\nu, b_\nu)) = \sum\limits_{\nu} (b_\nu - a_\nu). \]
	
	\item[\ref{thm2.4.4.4}] 当 \( F \) 是闭集时, \( \mathbb E^1 - F \) 是开集. 但 \( \mathbf{B} \) 是代数, 所以 \( F \) 是 Borel 集. 

    如果 \( F \subseteq (a, b) \) (有限区间) , 那么 \((a, b) - F\) 是开集. 又由于 \( m((a, b)) = b - a < \infty \), 由测度的可减性得到 \[ m(F) = b - a - m((a, b) - F). \]

    如果 \( F \) 是无界的闭集, 那么对任何自然数 \( n, F_n = F \cap [-n, n] \) 也是闭集, 并且 \[ F_n \subseteq F_{n+1} (n = 1, 2, \dots),\quad F = \lim\limits_{n \to \infty} F_n. \] 利用测度的极限性质 (Lecture 5 定理 6 的 5.) 就得到 \[ m(F) = \lim\limits_{n \to \infty} m(F_n). \]
	\end{enumerate}
\end{proof}

在一般的测度理论中\footnote{感兴趣的同学可以查阅资料, 为 Lecture 6 的延伸.}, 我们会较详细地讨论了 \( \mathbf{S}(\mathbf{R}) \) 和 \( \mathbf{R}^* \) 的关系. 把这些关系 (一些定理) 具体化为Lebesgue测度时, 虽也可以列出一些定理. 但我们不这样做. 因为对于Lebesgue测度有下面更具体的结果, 可以用 \( \mathbf{B} (= \mathbf{S}(\mathbf{R}_0)) \) 中的开、闭集来刻划Lebesgue可测集. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
	直线上任何子集 \( E \) 的Lebesgue外测度 \( m^*(E) \) 是包含 \( E \) 的开集 \( O \) 的Lebesgue测度 \( m(O) \) 的下确界, 即
	\begin{equation}
		m^*(E) = \inf \{ m(O) \mid O \supseteq E, O \text{ 是开集} \} \label{2.4.1}
	\end{equation}\end{lemma}

\begin{proof}
	由 \( m^* \) 的单调性, \( m^*(E) \leqslant m^*(G) = m(G) \) (\( G \) 是包含 \( E \) 的任一开集). 所以
	\begin{equation}
		m^*(E) \leqslant \inf \{ m(O) \mid O \supseteq E, O \text{ 是开集} \} \label{2.4.2}
	\end{equation}
	
由此可知, 只要再证与 \eqref{2.4.2} 相反的不等式成立即可. 如果 \( m^*(E) = \infty \), 从 \eqref{2.4.2} 知道 \eqref{2.4.1} 必成立. 因此下面不妨假设 \( m^*(E) < \infty \) 的情况下来证明. 

这时, 对任何 \( \varepsilon > 0 \), 有一列 \( E_i \in \mathbf{R}_0 \), 使 \( E \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \), 而且 \[ \sum\limits_{i=1}^{\infty} m(E_i) \leqslant m^*(E) + \varepsilon. \] 
每个 \( E_i \) 可以有初等分解 \( E_i = \bigcup\limits_{j=1}^{n_i} E_i^{(j)} \), \( m(E_i) = \sum\limits_{j=1}^{n_i} m(E_i^{(j)}) \), 所以 \[ \sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{j=1}^{n_i} m(E_i^{(j)}) \leqslant m^*(E) + \varepsilon. \] 
因为 \( E_i^{(j)} (i = 1, 2, \dots; j = 1, 2, \dots, n_i) \) 总共不过可列个, 设这一列集是 \((a_n, b_n]\). 上面的不等式就是
\[
\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n) \leqslant m^*(E) + \varepsilon
\]
取 \( O = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \left( a_n, b_n + \frac{\varepsilon}{2^n} \right) \), 显然 \[ O \supseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n) = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \bigcup\limits_{j=1}^{n_i} E_i^{(j)} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \supseteq E. \]
由测度的次可列可加性, 得到
\[
m(O) \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} m\left( \left( a_n, b_n + \frac{\varepsilon}{2^n} \right) \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( b_n + \frac{\varepsilon}{2^n} - a_n \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n) + \varepsilon \leqslant m^*(E) + 2\varepsilon. 
\]
由这不等式即知 \[ \inf \{ m(O) \mid O \text{ 是包含 } E \text{ 的开集} \} \leqslant m^*(E) + 2\varepsilon. \] 
令 \( \varepsilon \to 0 \), 并结合 \eqref{2.4.2} 式就得到 \eqref{2.4.1}.
\end{proof} 

\begin{theorem}\label{thm2.4.5}
	集 \( E \subseteq \mathbb E^1 \) 成为Lebesgue可测集的充要条件是对任何 \( \varepsilon > 0 \), 有开集 \( O \supseteq E \) 使得
	\begin{equation}
		m^*(O - E) < \varepsilon \label{2.4.3}
	\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
	设 \( E \in \mathbf{L} \), 如果 \( m(E) < \infty \), 由引理 \ref{lemma2}, 必有开集 \( O \supseteq E \) 使得 \( m(O) < m(E) + \varepsilon \). 由于 \( O = (O - E) \cup E \) 及 \( m \) 的可加性, 得到
\[
m(O - E) + m(E) < m(E) + \varepsilon
\]
因此 \eqref{2.4.3} 式成立；在 \( m(E) = \infty \) 时, 记 \( E_n = E \cap (-n, n) \), 由上所述, 必有 \( O_n \supseteq E_n \), \( O_n \) 是开集, 且 \( m(O_n - E_n) < {\varepsilon}/{2^n} \), 这时取 \( O = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} O_n \), \( O \) 是包含 \( E \) 的开集, 而且 \[ O - E = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} O_n - \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (O_n - E_n), \] 所以
\[
m(O - E) \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} m(O_n - E_n) < \varepsilon
\]

反过来, 如果集 \( E \) 满足定理的条件, 那么对自然数 \( n \), 有开集 \( O_n \supseteq E \), 且使 \( m^*(O_n - E) < \frac{1}{n} \). 记 \( O = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} O_n \), 就有 \( O \in \mathbf{S}(\mathbf{R}_0) \), 显然 \( O \supseteq E \), 由 \( m^* \) 的单调性得 \( m^*(O - E) < m^*(O_n - E) < \frac{1}{n} \), 所以 \( m^*(O - E) = 0 \). 由定理 \ref{thm2.4.3} 的 \ref{thm2.4.3.1}, \( O - E \in \mathbf{L} \). 由 \( O \in \mathbf{L} \), \( O - E \in \mathbf{L} \), 及 \( O \supseteq E \), 立即知 \( E = O - (O - E) \in \mathbf{L} \).
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm2.4.6}
	集 \( E \subseteq \mathbb E^1 \) 成为Lebesgue可测集的充要条件是对任何 \( \varepsilon > 0 \), 有闭集 \( F \subseteq E \) 使得 \( m^*(E - F) < \varepsilon \). 
\end{theorem}

\begin{proof}
	如果 \( E \in \mathbf{L} \), 就有 \( E^{\mathsf c} = (-\infty, \infty) - E \in \mathbf{L} \). 由定理 \ref{thm2.4.5}, 必有开集 \( O \supseteq E^{\mathsf c} \) 使 \( m(O - E^{\mathsf c}) < \varepsilon \). 记 \( F = O^{\mathsf c} = (-\infty, \infty) - O \), 由于开集的余集是闭集, 所以 \( F \) 是闭集, 又由 \( O \supseteq E^{\mathsf c} \) 得 \( E \supseteq O^{\mathsf c} = F \). 注意到关系式 \( O - E^{\mathsf c} = E - O^{\mathsf c} \), 就得到 \( m(E - F) < \varepsilon \). 

反过来如果集 \( E \) 满足定理条件, 则对 \( \varepsilon > 0 \), 有闭集 \( F \subseteq E \), 使 \( m^*(E - F) < \varepsilon \). 因为 \( F^{\mathsf c} \) 是开集, \( F^{\mathsf c} \supseteq E^{\mathsf c} \), 又 \( E - F = E \cap F^{\mathsf c} = F^{\mathsf c} - E^{\mathsf c} \), 所以 \( E^{\mathsf c} \) 满足定理 \ref{thm2.4.5} 的条件, 因此 \( E^{\mathsf c} \in \mathbf{L} \), 从而 \( E \in \mathbf{L} \).
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm2.4.7}
	直线上子集 \( E \) 是Lebesgue可测的充要条件是对任何 \( \varepsilon > 0 \), 有开集 \( O \) 及闭集 \( F \) 使得 \( O \supseteq E \supseteq F \) 且 \( m(O - F) < \varepsilon \).
\end{theorem}

\begin{proof}
	如果 \( E \in \mathbf{L} \), 由定理 \ref{thm2.4.5}、\ref{thm2.4.6}, 对 \( \varepsilon > 0 \), 有开集 \( O \) 及闭集 \( F \), 使 \( O \supseteq E \supseteq F \), 且 \( m(O - E) < \frac{\varepsilon}{2} \), \( m(E - F) < \frac{\varepsilon}{2} \). 由 \( O - F = (O - E) \cup (E - F) \) 即得 \( m(O - F) = m(O - E) + m(E - F) < \varepsilon \). 

反过来, 如果 \( E \) 满足定理的条件, 那么对 \( \varepsilon > 0 \) 可找到开集 \( O \) 及闭集 \( F \) 使得 \( O \supseteq E \supseteq F \), \( m(O - F) < \varepsilon \). 这时 \( m^*(O - E) \leqslant m^*(O - F) = m(O - F) < \varepsilon \), 故由定理 \ref{thm2.4.5} 即知 \( E \in \mathbf{L} \).
\end{proof}

\begin{definition}
	直线上子集 \( E \) 如果可以表示成一列开集的通集, 就称 \( E \) 是 \( G_\delta \) 型集或\textbf{内限点集}. 如 \( E \) 可以表示成一列闭集的和集, 就称 \( E \) 是 \( F_\sigma \) 型集或\textbf{外限点集}. 
\end{definition} 

由定理 \ref{thm2.4.4}, 开集和闭集都是Lebesgue可测集, 而且都是 Borel 集. 因此 \( G_\delta \) 型和 \( F_\sigma \) 型的集也都是Lebesgue可测的, 而且都是 Borel 集. 

\begin{theorem}\label{thm2.4.8}
	如果 \( E \in \mathbf{L} \), 那么必定有 \( G_\delta \) 型集 \( O \) 及 \( F_\sigma \) 型集 \( H \), 使得 \( O \supseteq E \supseteq H \), 而且 \( m(O - E) = m(E - H) = 0 \). 
\end{theorem}

\begin{proof}
	因为 \( E \in \mathbf{L} \), 由定理 \ref{thm2.4.7}, 对自然数 \( n \), 有包含 \( E \) 的开集 \( O_n \), 使 \( m(O_n - E) < \frac{1}{n} \), 同样又有闭集 \( F_n \subseteq E \), 使 \( m(E - F_n) < \frac{1}{n} \). 这时, \( O = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} O_n \) 是 \( G_\delta \) 型集, \( H = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n \) 是 \( F_\sigma \) 型集, 显然 \( O \supseteq E \supseteq H \). 由 \( m \) 的单调性, \( m(O - E) \leqslant m(O_n - E) < \frac{1}{n}, m(E - H) \leqslant m(E - F_n) < \frac{1}{n} \), 令 \( n \to \infty \), 就得到 \(m(O - E) = m(E - H) = 0\). 
\end{proof}

由于 \( G_\delta \) 型集及 \( F_\sigma \) 型集都是 Borel 集, 由定理 \ref{thm2.4.8} 即得下面的定理 \ref{thm2.4.9}. 

\begin{theorem}\label{thm2.4.9}
	任何Lebesgue可测集 \( E \) 必是某个 Borel 集与Lebesgue零集\footnote{Lebesgue零集是指Lebesgue测度等于零的集.}的和集, 同时它又是一个 Borel 集与Lebesgue零集的差集. 
\end{theorem}

定理 \ref{thm2.4.9} 就相当于一般测度论中的如下定理\ref{thm}. 

{\color{red}\begin{theorem}\label{thm}
	如果$\mu$是$\mathbf R$上的$\sigma$-有限测度, 那么
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbf R^*$中任何集必可表示成$\mathbf S(\mathbf R)$中集与一个$\mu^*$-零集的差;
		\item $\mathbf R^*$中任何集必可表示成$\mathbf S(\mathbf R)$中集与一个$\mu^*$-零集的和.
	\end{enumerate}
\end{theorem}}

定理 \ref{thm2.4.5}、\ref{thm2.4.6}、\ref{thm2.4.7}、\ref{thm2.4.8}、\ref{thm2.4.9} (特别是定理 \ref{thm2.4.7}) 是常被用来判断直线上的子集 \( E \) 是否Lebesgue可测. 另外, 引理 \ref{lemma2}, 定理 \ref{thm2.4.5}、\ref{thm2.4.6}、\ref{thm2.4.7}、\ref{thm2.4.8}、\ref{thm2.4.9} 对Lebesgue-Stieltjes测度也成立. 

这里我们还要指出一点: 确实有不是 Borel 集的Lebesgue可测集. 如果仅仅要求证明这个事实, 还是比较容易做到的. 例如用势的知识可以证明直线上 Borel 集全体的势是 \( \aleph \), 而Lebesgue可测集的势为 \( 2^{\aleph} \) (因为 Cantor 集是非空完全集, 它的势是 \( \aleph \), 所以它的一切子集所成的集的势为 \( 2^{\aleph} \). 又因为 Cantor 集的Lebesgue测度为零, 所以它的一切子集都是Lebesgue可测集, 因此 \( |\mathbf{L}| \geqslant 2^{\aleph} \). 另一方面直线上一切子集全体的势也是 \( 2^{\aleph} \), 所以 \( |\mathbf{L}| = 2^{\aleph} \). 但 \( 2^{\aleph} > \aleph \), 所以Lebesgue可测集比 Borel 可测集要多得多！可是要想给出一个具体的集, 它是Lebesgue可测集而非 Borel 集确定比``证明''要困难得多. 苏联学者鲁津、阿列克塞德洛夫以及苏斯林等在深入研究 Borel 集类 (它与连续性有深刻联系) 结构基础上发现了比 Borel 集类广泛得多的 $A$ 集类 (它借助于 $A$ 运算产生的)——也称为苏斯林集类. 

\end{document}